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문제

KOI 부설 과학연구소에서는 많은 종류의 산성 용액과 알칼리성 용액을 보유하고 있다. 각 용액에는 그 용액의 특성을 나타내는 하나의 정수가 주어져있다. 산성 용액의 특성값은 1부터 1,000,000,000까지의 양의 정수로 나타내고, 알칼리성 용액의 특성값은 -1부터 -1,000,000,000까지의 음의 정수로 나타낸다.

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KOI 부설 과학연구소에서는 많은 종류의 산성 용액과 알칼리성 용액을 보유하고 있다. 각 용액에는 그 용액의 특성을 나타내는 하나의 정수가 주어져있다. 산성 용액의 특성값은 1부터 1,000,000,000까지의 양의 정수로 나타내고, 알칼리성 용액의 특성값은 -1부터 -1,000,000,000까지의 음의 정수로 나타낸다.

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언제나 최고만을 지향하는 굴지의 대기업 진영 주식회사가 신규 사원 채용을 실시한다.

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십년이면 강산이 변한다.

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등산가 김강산은 가족들과 함께 캠핑을 떠났다. 하지만, 캠핑장에는 다음과 같은 경고문이 쓰여 있었다.

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오늘은 신승원의 생일이다.

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<그림 1>과 같이 정사각형 모양의 지도가 있다. 1은 집이 있는 곳을, 0은 집이 없는 곳을 나타낸다.

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그래프를 DFS로 탐색한 결과와 BFS로 탐색한 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

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N!에서 뒤에서부터 처음 0이 아닌 숫자가 나올 때까지 0의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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해빈이는 패션에 매우 민감해서 한번 입었던 옷들의 조합을 절대 다시 입지 않는다. 예를 들어 오늘 해빈이가 안경, 코트, 상의, 신발을 입었다면, 다음날은 바지를 추가로 입거나 안경대신 렌즈를 착용하거나 해야한다. 해빈이가 가진 의상들이 주어졌을때 과연 해빈이는 알몸이 아닌 상태로 며칠동안 밖에 돌아다닐 수 있을까?

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자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 를 10,007로 나눈 나머지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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상근이는 창고에서 링 N개를 발견했다. 상근이는 각각의 링이 앞에 있는 링과 뒤에 있는 링과 접하도록 바닥에 내려놓았다.

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두 개의 자연수를 입력받아 최대 공약수와 최소 공배수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

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정수 N이 주어졌을 때, 소인수분해하는 프로그램을 작성하시오.

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양수 A가 N의 진짜 약수가 되려면, N이 A의 배수이고, A가 1과 N이 아니어야 한다. 어떤 수 N의 진짜 약수가 모두 주어질 때, N을 구하는 프로그램을 작성하시오.

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4 × 3 = 12이다.

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세준이는 양수와 +, -, 그리고 괄호를 가지고 길이가 최대 50인 식을 만들었다. 그리고 나서 세준이는 괄호를 모두 지웠다.

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인하은행에는 ATM이 1대밖에 없다. 지금 이 ATM앞에 N명의 사람들이 줄을 서있다. 사람은 1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있으며, i번 사람이 돈을 인출하는데 걸리는 시간은 Pi분이다.

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준규가 가지고 있는 동전은 총 N종류이고, 각각의 동전을 매우 많이 가지고 있다.

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수학과 프로그래밍을 좋아하는 A와 B 두 사람이 다음과 같은 게임을 하고 있다. 둘은 각각 1 이상 30,000 미만의 수 하나를 고른다. 이 수를 가지고 점수를 계산하여 큰 쪽이 이기는 게임이다. 어떤 수의 점수는, 이 수부터 시작해서 한 자리를 골라 이 자리의 숫자를 지워서 소수를 만들고, 이 과정을 연속해서 최대로 많이 만들 수 있는 소수의 개수이다. 이 과정에는 입력받은 원래의 수도 포함된다.

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아래 그림에서 보인 것처럼 장애물이 놓인 길을 따라 공을 오른쪽으로 굴릴 때, 공의 중심이 어떤 궤적을 따라 이동하는지 알고자 한다. 길에 놓인 장애물들은 직사각형으로 표시되고, 모든 장애물은 x 축 상에 놓여있다. 공이 장애물을 만나 더 이상 움직일 수 없다면 그림에서 보듯이 장애물의 벽 또는 모서리를 따라 넘어가되, 공은 어떤 경우에도 장애물에서 떨어지지 않은 채 장애물의 벽 또는 모서리를 따라 구르며, 아무리 높은 장애물도 넘어 갈 수 있다.

문제

1 이상의 정수를 받아서 다음의 규칙에 따른 “작업”을 반복하여 결국 1 을 만드는 게임을 하려고 한다. 아래 규칙은 한번의 작업에 대한 것이고, 작업의 결과로 만들어지는 수에 작업을 수행하는 것을 반복한다. 규칙에도 나와 있듯이 현재 수가 1 인 경우는 작업을 하지 않고 멈춘다.

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“폐구간”이란 두 실수 a와 b를 포함하여 그 사이에 속한 모든 실수의 집합으로 [a,b]로 표기한다. 이 때 폐구간 [a,b]의 양 끝점인 a와 b는 항상 a≤b 의 관계를 만족한다. 두 개의 폐구간 [a,b] 와 [a′,b′]는 하나가 다른 하나를 완전히 포함하면 서로 “중첩”되어 있다고 말한다. 만약 어떤 폐구간들을 원소로 하는 집합이 있고, 그 집합에서 임의의 두 원소(폐구간)이 모두 중첩되어 있는 경우 “그 폐구간의 집합은 완전 중첩되어 있다”고 이야기한다. 예를 들어, { [ 1 , 10 ] , [ 2 , 5 ] , [ 3 , 4 ] , [ 4 , 4 ] } 의 폐구간의 집합은 완전 중첩되어 있다. 이 문제에서는 총 N개의 폐구간이 입력으로 주어질 때 완전 중첩된 부분집합 중 가장 원소의 개수가 많은 것을 찾고, 그 부분집합에 속한 폐구간의 개수를 출력하는 것을 목표로 한다.

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자연수를 표시하기 위한 표기법으로는 10을 기저로 하는 10진법을 가장 많이 사용한다. 하지만, 그 이외에도 어떤 자연수이든지 기저로 하여 표현하는 것이 가능하다. 예를 들어 10을 기저로 하는 10진법에서 238로 표현되는 수가, 2를 기저로 하는 2진법에서는 11101110으로 표현된다. 그리고, 같은 수를 23진법으로 표현하면 10, 8로 표현될 것이다. (23진법에서는 각 자리수는 10진수로 표현하고 자리수 사이를 콤마로 구분하였다. 기저가 10 이상인 경우에만 이렇게 콤마로 구분하는 방법을 쓴다.)

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N 행 N 열로 이루어진 정사각형 격자구조 내에 방들 중에서 몇 개의 방에는 ╱ 또는 ╲ 형태의 대각선으로 45도 기울어진 양면거울이 들어 있다. 거울은 상하좌우에서 오는 빛을 다시 상하좌우 방향의 방으로 직각 반사시킨다. 본 문제에서는 ‘가장 윗줄에서 가장 왼쪽 방’의 왼쪽에서 레이저 포인터로 빛을 수평(0도)으로 비추었을 때 빛이 거치는 서로 다른 거울 개수를 계산하려고 한다.

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마라톤 애호가들이 많이 사는 한 도시에서는 해마다 시내에서 마라톤 대회가 개최되고 있다. 이 마라톤 대회의 특징은 주최측에서 출발지와 도착지만 제시하고, 달리는 경로는 참가자 본인이 원하는 대로 결정한다는 점이다. 시내의 도로는 아래 ‘그림 1’에서 보인 것처럼 격자 모양으로 되어 있으며, 격자의 교차점 간의 거리는 모두 동일하기 때문에 1로 간주한다. ‘그림1’에서 보면, 격자상의 교차점의 위치는 편의상 수학에서 사용하는 ( x , y )-좌표로 표기하였고, 좌측 하단의 위치를 (0,0)으로 하였다. 그리고, 각 교차점은 고도가 서로 다른데, 교차점 ( i,j) 고도를 나타내는 정보 aij 는 대괄호 “[ ]” 내에 정수로 표기하였다. 마라톤 대회의 출발지는 (0,0)이며 도착지는 ( M,N )이다. 그리고, 교차점 중 몇 군데에는 참가자들이 달리면서 물을 마실 수 있도록 생수통이 준비되어 있다. 생수통이 준비된 교차점은 그림에서 보듯이 “○”로 표시되어 있고, 그 곳을 지나는 모든 주자들에게 생수통 한 개씩을 제공한다.

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어느 대학교의 두 학과 A, B가 함께 MT를 떠났다. A학과에서 MT를 온 학생들은 a명, B학과에서 MT를 온 학생들은 b명이다. 처음 보는 학생들끼리 MT를 왔기 때문에, 친목을 도모하기 위해서 다음과 같은 게임을 하기로 했다. 게임의 규칙은 다음과 같다.

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N 개의 자연수를 원소로 가진 수열 {a1,a2,…,aN }이 있고, 이 수열 내에서 모든 가능한 k 에 대해 ak+2−ak+1=ak+1−ak=d 가 성립하는 경우 수열 {a1,a2,…,aN} 을 “등차수열”이라 부르고, 이때 d 를 “공차”라고 부른다. 단, 이 문제에서 d 는 0 이상의 정수이다. ( 0≤d ) 그리고, 수열 {b1,b2,…,bM} 이 등차수열 {a1,a2,…,aN} 의 일부분일 경우 (수열 {b1,b2,…,bM } 의 모든 원소가 등차수열 {a1,a2,…,aN} 의 원소이고, b1,b2,…,bN 이 a1,a2,…,aN 에 동일한 순서로 등장하는 경우) “등차수열 {a1,a2,…,aN} 은 수열 {b1,b2,…,bM} 을 포함한다”고 한다. 이때, 수열 {b1,b2,…,bM} 은 등차수열일 수도 있고 아닐 수도 있다. 그리고, 수열 {b1,b2,…,bM} 를 포함하는 등차수열 {a1,a2,…,aN} 은 여러 개 있을 수가 있고, 그 등차수열 공차의 개수도 여러 개 있을 수가 있다.

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일직선 상에 돌들이 놓여있고, 개구리가 처음에는 ‘좌표 0’에 위치한 돌 위에 앉아 있다. ‘좌표 0’에는 돌이 항상 놓여 있고, 모든 돌들은 정수 좌표에 놓여 있다. (그림 1)

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지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

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오른쪽 그림과 같이 삼각형이 나선 모양으로 놓여져 있다. 첫 삼각형은 정삼각형으로 변의 길이는 1이다. 그 다음에는 다음과 같은 과정으로 정삼각형을 계속 추가한다. 나선에서 가장 긴 변의 길이를 k라 했을 때, 그 변에 길이가 k인 정삼각형을 추가한다.

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45656이란 수를 보자.

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